ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΤΟ ΤΕΛΕΙΟΤΕΡΟ ΔΗΜΙΟΥΡΓΗΜΑ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
1. Εισαγωγή
Κάπου στα βάθη των χιλιετιών ο άνθρωπος έπαψε να είναι κυνηγός-συλλέκτης και άρχισε να οργανώνει τις πρώτες μικρές κοινωνίες με βάση τη γεωργία. Γρήγορα χρειάστηκε γενικούς τύπους και υποδείγματα για να διεκπεραιώνει τις δραστηριότητές του με επιτυχία. Φανταζόμαστε τον πρόγονό μας να μετράει τα ζώα του αντιστοιχώντας τα με τα δέκα δάχτυλά του, να διαιρεί τη γη του ανάμεσα σε καλλιέργειες ή ανθρώπους, να μοιράζει τη σοδιά του. Ο πρόγονος αυτός, χωρίς να το αντιλαμβάνεται πλήρως, άρχισε να εξετάζει ποσοτικές σχέσεις στο χώρο και το χρόνο. Βαθμιαία έμαθε να μετράει, να βρίσκει εμβαδά, να κάνει χρήση γεωμετρικών εννοιών, να συσχετίζει αριθμούς και σχήματα. Γίνεται πρωτόγονος μαθηματικός.
Η Αίγυπτος είναι η γη που τα μαθηματικά έκαναν την πρώτη εμφάνισή τους για πρακτικούς λόγους που είχαν να κάνουν με τα αρδευτικά συστήματα, τις πυραμίδες και τα χωράφια τους. Στη Μεσοποταμία οι άνθρωποι στράφηκαν με βαθύτητα στις μαθηματικές έννοιες. Γνώριζαν μέχρι και κάποιες απόψεις του Πυθαγορείου θεωρήματος.
Εκεί όμως που τα μαθηματικά έγιναν αυστηρή επιστήμη με καθορισμένη μεθοδολογία ήταν οι ακτές του Αιγαίου και οι καλότυχοι πρωτοπόροι ήταν οι Αρχαίοι Έλληνες. Όπως το είχαν συνήθειο, καθόρισαν τα όρια, τις μεθόδους, και τους στόχους πολλών τεχνών και επιστημών. Το μεγαλύτερο επίτευγμά τους ήταν ότι όρισαν πλήρως τους στόχους και τη μεθοδολογία της τελειότερης και αυστηρότερης επιστήμης, των μαθηματικών. Σήμερα δεν έχουμε αλλάξει αυτή τη μεθοδολογία στο ελάχιστο και χάρη σ’ αυτή, τα μαθηματικά έχουν αποκτήσει το μεγαλύτερο εύρος και βάθος απ’ όλες τις επιστήμες.
2. Η Εξέλιξη
Ο πρώτος μαθηματικός της Ιστορίας είναι ο Θαλής ο Μιλήσιος. Ήταν αυτός που ήθελε οι προτάσεις των μαθηματικών να αποδεικνύονται με αυστηρό τρόπο. Σε αντίθεση με τους φιλοσόφους της εποχής του που έψαχναν την ερμηνεία του κόσμου με καθαρή φαντασία και λιγότερη λογική, (ας θυμηθούμε τα συστατικά της φύσης που άλλοτε ήταν η φωτιά, άλλοτε ο αέρας κλπ), αυτός κατάλαβε το πόσο απατηλή μπορούσε να είναι η διαίσθηση και η επιφανειακή παρατήρηση.
Οι Αρχαίοι Έλληνες πίστευαν στην αρμονία και απλότητα έχοντας αντιληφθεί ότι μεγάλη πολυπλοκότητα μπορεί να προκύψει από πολύ απλά στοιχεία και στοιχειώδεις κανόνες. Για τούτο ένα από τα βασικά τους προβλήματα ήταν η κατασκευή σχημάτων και η δημιουργία ισοδυναμιών με τον κανόνα (χάρακα χωρίς υποδιαιρέσεις) και το διαβήτη. Το πιο διάσημο πρόβλημα από αυτά ήταν ο τετραγωνισμός επίπεδων σχημάτων, η κατασκευή δηλαδή τετραγώνων με κανόνα και διαβήτη ίδιας επιφάνειας με εκείνη του αρχικού σχήματος. Οι Αρχαίοι Έλληνες είχαν αποδείξει ότι οποιοδήποτε πολύγωνο τετραγωνίζεται. Τότε ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι τριών ειδών μηνίσκοι τετραγωνίζονται. Οι μηνίσκοι είναι επιφάνειες που περικλείονται μεταξύ δύο κυκλικών τόξων διαφορετικών ακτίνων. Τον 18ο αιώνα ο περίφημος Euler, ο μέγιστος των μαθηματικών κατά κάποιους, βρήκε ακόμη δύο τετραγωνίσιμους μηνίσκους και αυτοί ήταν όλοι κι όλοι που τετραγωνίζονται. Ο τετραγωνισμός μηνίσκων ειδικής κατασκευής δημιούργησε ελπίδες για τον τετραγωνισμό του κύκλου. Το πρόβλημα αυτό λύθηκε το 1882 από τον Lindemann που απέδειξε ότι ο τετραγωνισμός του κύκλου με κανόνα και διαβήτη είναι αδύνατος (ο τετραγωνισμός του κύκλου με άλλες μεθόδους είναι βέβαια δυνατός).
Εκείνη η εποχή της Αρχαίας Ελλάδας ήταν μαγική. Μέσα σε ελάχιστο χρονικό διάστημα οι μεγάλοι διανοητές διαδέχονταν ο ένας τον άλλο. Ήταν τώρα η σειρά του Εύδοξου, του Ευκλείδη και μετά του μέγιστου όλων των μαθηματικών της Αρχαιότητας, του Αρχιμήδη. Ο Εύδοξος διατύπωσε τη μέθοδο των οριακών προσεγγίσεων πολύπλοκων σχημάτων με άλλα γνωστά σχήματα. Έτσι η επιφάνεια ενός κύκλου μπορεί να προσεγγισθεί από διαδοχικά εγγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα με αυξανόμενο αριθμό πλευρών. Αυτή η μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε πολύ από τον Αρχιμήδη αποτελεί τον πρόδρομο του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού που αναπτύχθηκε τον 17ο αιώνα.
Ο Ευκλείδης γύρω στο 300 π.Χ. έγραψε ένα μνημειώδες έργο, τα «Στοιχεία», που συνίστατο από 13 τόμους και 465 θεωρήματα από τη γεωμετρία και τη θεωρία αριθμών. Τα «Στοιχεία» καθόρισαν τον τρόπο διατύπωσης των μαθηματικών θεωριών με αξιώματα, ορισμούς, θεωρήματα, και αποδείξεις. Ταυτόχρονα συνόψισαν με απόλυτη αυστηρότητα και λιτότητα, που μόνο οι υψηλότερη επιστήμη ή τέχνη μπορεί να φτάσει, όλη τη μαθηματική γνώση της Αρχαιότητας. Το ανυπέρβλητο αυτό έργο παραμένει επίκαιρο σήμερα όσο και πριν από 2.300 χρόνια. Η σημασία του είναι διπλή: δίνει τεράστιο πλούτο μαθηματικής γνώσης και καθιερώνει την αξιωματική μέθοδο. Ο Ευκλείδης ξεκίνησε με 5 αξιώματα, 5 υποθέσεις, και 23 ορισμούς. Όλη η πληροφορία του έργου εμπεριέχεται σ’ αυτές τις 33 προτάσεις. Τα θεωρήματα και οι αποδείξεις είναι μετασχηματισμοί της πληροφορίας σε άλλες μορφές. Το Πυθαγόρειο θεώρημα και η απόδειξή του είναι από τα λαμπρά αποτελέσματα του έργου.
Ανάμεσα στα αιτήματα του Ευκλείδη υπήρχε και ένα που η διατύπωσή του ισοδυναμεί με το ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180° ή ότι από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μία μόνο παράλληλη ευθεία προς τη δοθείσα. Ο Ευκλείδης θεώρησε αυτή την πρόταση αναπόδεικτη ή αίτημα. Πολλοί μαθηματικοί προσπάθησαν να την αποδείξουν αλλά απέτυχαν ώσπου το 18ο αιώνα ο Gauss, ο επιλεγόμενος πρίγκιπας των μαθηματικών, ο Bolyai, και ο Lobachevski, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, δέχτηκαν ως αξίωμα ότι οι γωνίες ενός τριγώνου αθροίζονται σε λιγότερες από 180ο. Δημιούργησαν τότε μια νέα γεωμετρία χωρίς λογικές αντιφάσεις αλλά με αποτελέσματα που δεν συμβάδιζαν με την καθημερινή εμπειρία. Λίγο αργότερα ο Riemann δημιούργησε μια άλλη γεωμετρία, επίσης λογικά συνεπή αλλά αντιδιαισθητική, δεχόμενος ότι οι γωνίες ενός τριγώνου έχουν άθροισμα μεγαλύτερο των 180°. Αυτές οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες όπως λέγονται, δικαίωσαν την αξιωματική προσέγγιση του Ευκλείδη. Τα μαθηματικά στηρίζονται στη λογική και όχι στη διαίσθηση ή εμπειρία. Κι όμως η γεωμετρία του Riemann χρησιμοποιήθηκε από τον Einstein στη γενική θεωρία της σχετικότητας για να ερμηνεύσει το σύμπαν. Ίσως το σύμπαν ξεγελάει τη μικρή καθημερινή μας εμπειρία και χρειάζεται κάτι πιο αμετάβλητο για να εξηγηθεί.
Ο Αρχιμήδης ήταν ο διάδοχος του Ευκλείδη. Άνθρωπος με αφηρημένη σκέψη αλλά και πρακτικές ικανότητες, κατά κάποιους είναι ένας από τους τρεις μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών (o Gauss και ο Νεύτων είναι οι άλλοι δύο). Ασχολήθηκε με τον κύκλο, τη σφαίρα και άλλα καμπύλα σχήματα και σώματα. Εφαρμόζοντας τη μέθοδο των προσεγγίσεων υπολόγισε εμβαδά και όγκους. Πρώτος εισήγαγε τον αριθμό π και τον υπολόγισε με προσέγγιση εκατοστού. Με τον Αρχιμήδη τα μαθηματικά έγιναν μια ολοκληρωμένη επιστήμη με μεγάλο αριθμό βαθύτατων αποτελεσμάτων και κυρίως δεδομένη και απολύτως καθορισμένη μέθοδο. Η μετέπειτα εξέλιξή τους ήταν μονάχα ζήτημα χρόνου. Το πιο θαυμαστό ίσως διανοητικό δημιούργημα του ανθρώπου είχε μπει σε κίνηση.
Υπήρξαν και άλλοι μεγάλοι τεχνίτες, ο Ήρων, ο Απολλώνιος, ο Ερατοσθένης, ο Πτολεμαίος, ο Διόφαντος. Τα έργα τους κόσμησαν τη μεγάλη Βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας, ώσπου κι αυτή την έκλεισαν οι Χριστιανοί το 529 μ.Χ. γιατί είχε λέει ειδωλολατρικά βιβλία. Αργότερα οι Άραβες την έκαψαν και βαθμιαία ένα σκοτάδι κάλυψε την Ευρώπη μέχρι τον 15ο αιώνα που κάτι άλλαξε.
Τα μαθηματικά άρχισαν να αναβιώνουν με ερωτήματα και απαντήσεις του επιπέδου της Αρχαίας Ελλάδας. Ο Cardano, o Ferrari, o Fermat και άλλοι οδήγησαν τη μαθηματική σκέψη σε νέα ύψη. Όμως η πραγματική επανάσταση ήρθε τον 17ο αιώνα με τους Descartes, Pascal, Leibniz, τους αδελφούς Bernoulli, και τον μέγιστο όλων Νεύτωνα.
Νέα πεδία γεννήθηκαν όπως η αναλυτική γεωμετρία, η θεωρία πιθανοτήτων, και ο διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός. Η φύση και το σύμπαν έγιναν προσιτά σε ερμηνείες και αναλύσεις. Τα μαθηματικά, ένα καθαρά διανοητικό δημιούργημα, εξηγούσε τον κόσμο με εκπληκτικό τρόπο. Η κίνηση των πλανητών, μηχανικά, θερμικά και μαγνητικά φαινόμενα, η φωτεινή ακτινοβολία ερμηνεύονταν χωρίς τη χρήση πνευμάτων και δαιμόνων, αλλά μόνο με σύμβολα. Μπορούσε κανείς όχι μόνο να αναλύει το παρόν αλλά και να προβλέπει το μέλλον. Ήταν εφικτό να ξέρει με μεγάλη ακρίβεια τη θέση ενός πλανήτη στο μέλλον, την ημερομηνία μιας έκλειψης ηλίου, τη μελλοντική θέση ενός κινούμενου σώματος, τη θερμοκρασία κάποιου υλικού σε ορισμένο σημείο και χρόνο. Καθώς η πύλη του σύμπαντος άνοιγε με το κλειδί των μαθηματικών, ο κόσμος αισιοδοξούσε ότι όλα πλέον ήταν προσιτά στην επιστήμη. Οι αμφιβολίες ήρθαν αργότερα, κυρίως στον 20ο αιώνα. Για την ώρα η Ευρώπη απολάμβανε την αναγέννησή της βασισμένη στην Αρχαία Ελληνική σκέψη. Η Ελλάδα τότε ήταν βυθισμένη στο δικό της σκοτάδι.
Ο 18ος αιώνας ήταν εξ ίσου εκρηκτικός για τα μαθηματικά. Στην πραγματικότητα όλοι οι μετέπειτα αιώνες έγραψαν τις λαμπρές τους σελίδες με τους Euler, Gauss, Riemann, Fourier, Cauchy, Abel, Galois, Weierstrass, Kronecker, Caley, Hamilton, Hermite, Cantor, Hilbert, Minkowski, Von Neumann, Gödel και άλλους πολλούς. Τα μαθηματικά, η αρχαιότερη ίσως των επιστημών βρίσκεται πλέον σε πλήρη ανάπτυξη και έχει εισχωρήσει σε κάθε περιοχή της επιστήμης.
3. Μερικά ερωτήματα
Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη που διατυπώνει πρότυπα και υποδείγματα στους αριθμούς, στο χώρο, στο χρόνο, και στην επιστήμη. Οι περιοχές των μαθηματικών είναι πολλές. Ακολουθεί μια ενδεικτική καταγραφή: Άλγεβρα, γεωμετρία, λογισμός, πιθανότητες, στατιστική, αριθμητική ανάλυση, επιχειρησιακή έρευνα, τοπολογία, μιγαδική ανάλυση, συναρτησιακή ανάλυση, πραγματική ανάλυση, διαφορική γεωμετρία, θεωρία αριθμών, συνήθεις και μερικές διαφορικές εξισώσεις, χάος, μαθηματική λογική κλπ.
Η γνώση των προβλημάτων και των θεωρημάτων των μαθηματικών είναι σήμερα πέρα από τις δυνατότητες ενός ατόμου, οσοδήποτε ικανό και αν είναι. Το χαρακτηριστικό των μαθηματικών είναι η γενικότητα. Το εμβαδόν ενός συγκεκριμένου τριγώνου ή η λύση μιας συγκεκριμένης εξίσωσης δεύτερου βαθμού δεν παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον σε αντίθεση με τους τύπους που επιλύουν κάθε τρίγωνο και κάθε εξίσωση δεύτερου βαθμού.
Oι ακέραιοι αριθμοί χωρίζονται σε πρώτους και σύνθετους. Πρώτοι είναι οι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι του 1 και διαιρούνται μόνο από το 1 και τον εαυτό τους όπως οι 2, 3, 5, 7, … Ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» του είχε διατυπώσει το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής το οποίο λέει ότι κάθε ακέραιος n μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δυνάμεων πρώτων αριθμών. Είναι αξιοθαύμαστο που αυτό το θεώρημα ήταν γνωστό στους Αρχαίους, αν και ο αριθμητικός τους συμβολισμός ήταν πρωτόγονος αφού δεν γνώριζαν τα αραβικά σύμβολα. Το αποκορύφωμα της μεγαλοφυΐας του Ευκλείδη ήταν η απόδειξη ενός άλλου σπουδαίου θεωρήματος που λέει ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι το πλήθος.
Ο Αρχιμήδης παίζοντας με τις καμπύλες επιφάνειες και τον αριθμό π βρήκε τις επιφάνειες και τους όγκους πολλών καμπύλων επιφανειών και στερεών. Χρειάστηκε να γίνει η διατύπωση του ολοκληρωτικού λογισμού από τον Νεύτωνα και τον Leibmiz για να προχωρήσουν παραπέρα οι μαθηματικοί κάπου 1800 χρόνια αργότερα. Καθώς είπε ο Βολτέρος, «Υπάρχει περισσότερη φαντασία στο κεφάλι του Αρχιμήδη από ό,τι στου Ομήρου.»
Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής έχει κάποια ομοιότητα με το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, τουλάχιστον ως προς την παραγοντοποίηση. Πολλά πραγματικά φαινόμενα μπορούν να περιγραφούν από τα λεγόμενα πολυώνυμα βαθμού n τα οποία μπορούν να γραφούν ως γινόμενα δυνάμεων δυωνύμων του χ μείον τις ρίζες.
Ίσως όμως τις πιο πρωτότυπες ερωτήσεις στα μαθηματικά μετά τους Αρχαίους Έλληνες τις έκανε ο Cantor που έζησε στο τέλος του 19ου και στις αρχές του 20ου αιώνα. Οι ερωτήσεις του είχαν να κάνουν με το άπειρο. Πόσο μεγάλο είναι; Υπάρχει μεγαλύτερο ή μικρότερο άπειρο; Πόσα άπειρα υπάρχουν; Τέτοια βαθιά ερωτήματα αγγίζουν τα θεμέλια των μαθηματικών. Ο Cantor απέδειξε ότι οι αριθμοί 1,2,… είναι άπειροι αλλά λιγότεροι των πραγματικών αριθμών που περιλαμβάνουν αριθμούς με άπειρα δεκαδικά όπως Ονόμασε το πρώτο άπειρο אο και το δεύτερο C και ισχύει אο<C. O Cantor αμέσως ρώτησε μήπως υπήρχε κάποιο άπειρο μεταξύ του אο και του C. Αυτό το πρόβλημα τον βασάνισε μέχρι το θάνατό του σε ψυχιατρική κλινική, αλλά δεν το απάντησε ποτέ. Η απάντηση δόθηκε από τον σύγχρονο Paul Cohen του Πανεπιστημίου Stanford, ο οποίος απέδειξε ότι μέσα από το ισχύον αξιωματικό σύστημα της θεωρίας συνόλων ήταν αδύνατη η απόδειξη ύπαρξης τέτοιου απείρου. Θα μπορούσε όμως κάποιος να χρησιμοποιήσει την υπόθεση ύπαρξης ενδιάμεσου απείρου ως αίτημα και να χτίσει μια νέα θεωρία.
Το επόμενο ερώτημα του Cantor ήταν αν υπήρχαν άπειρα μεγαλύτερα του C. Η απάντηση ήταν καταφατική και η προσέγγιση μεγαλοφυής. Ο Cantor απέδειξε ότι υπάρχουν άπειρα άπειρα το ένα μεγαλύτερο του άλλου. Ο κόσμος του απείρου βρήκε το μέτρο και την τάξη του χάρη στις μεγαλοφυείς ιδέες του Cantor.
4. Τα θεμέλια των μαθηματικών αμφισβητούνται
Τα μαθηματικά έχουν εφαρμογές σε πολλές περιοχές της επιστήμης, όπως φυσική, χημεία, υπολογιστές, βιολογία, οικονομικά, διοίκηση, ψυχολογία, επιστήμες μηχανικών. Αυτό μοιάζει εκπληκτικό για μια επιστήμη που δεν ενδιαφέρεται για την πράξη - τουλάχιστον τα καθαρά μαθηματικά - και αναφέρεται μόνο σε αξιώματα και λογικές συνεπαγωγές. Τα μαθηματικά θεωρούνται η καθαρότερη και ακριβέστερη των επιστημών. Κι όμως συχνά είναι η επιστήμη των προσεγγίσεων ενώ τα θεμέλιά τους έχουν αμφισβητηθεί.
Παράδοξα είχαν διατυπωθεί από τους Αρχαίους Έλληνες. Η έκφραση για παράδειγμα «πας Κρης ψεύτης» διατυπωμένη από Κρητικό είναι αληθινή τότε και μόνο τότε όταν είναι ψευδής. Ο Cantor γνώριζε ότι οι θεωρίες του ήταν ύποπτες για τέτοια παράδοξα. Έστω Ω το σύνολο όλων των συνόλων. Το Ω περιέχει τα πάντα, αριθμούς, συναρτήσεις, υποσύνολά τους κοκ. Προφανώς αυτό είναι το μεγαλύτερο δυνατό σύνολο. Δεν υπάρχει κάποιο σύνολο έξω από αυτό. Ο Cantor όμως είχε αποδείξει ότι < , δηλαδή υπάρχει ένα άλλο σύνολο μεγαλύτερο ως προς το πλήθος από το Ω. O Cantor απέφυγε αυτό το παράδοξο διατυπώνοντας τη θεωρία συνόλων αξιωματικά και εκεί δεχόταν ότι το σύνολο των πάντων Ω δεν είναι σύνολο.
Γνωρίζοντας τέτοιες παγίδες, o Bertrand Russel και ο David Hilbert ξεκίνησαν το μεγάλο έργο της λογικής στεγανοποίησης των μαθηματικών. Ο Hilbert σκέφτηκε να διατυπώσει τη μαθηματική μέθοδο με αξιώματα όπως είχε διδάξει ο Ευκλείδης αλλά όχι με λέξεις γιατί οι λέξεις είναι ασαφείς. Πρότεινε λοιπόν μια γλώσσα συμβόλων και μια γραμματική αυστηρή και σαφή. Κάθε θεώρημα θα μπορούσε έτσι να ελεγχθεί μηχανιστικά και τα αποτελέσματα θα έδιναν την απόλυτη αλήθεια.
Για 30 χρόνια στις αρχές του 20ου αιώνα ο Hilbert, ο von Neumann και άλλοι δούλεψαν αυτές τις ιδέες με αισιοδοξία. Αλλά το 1931 ήρθε ο κεραυνός εν αιθρία από τον Κurt Gödel, τον μεγαλύτερο θεωρητικό της λογικής μετά τον Αριστοτέλη, καθώς είχε πει ο Robert Openheimer. O Gödel γεννήθηκε στην Αυστροουγγρική επαρχία της Μοραβίας το 1906. Στο σχολείο του ήταν εξαιρετικός σε όλα τα μαθήματα. Έγινε μαθηματικός λίγο τυχαία αφού ήθελε εξ ίσου να γίνει φυσικός. Από τα 23 του άρχισε να παρακολουθεί τις προσπάθειες του Hilbert. Ασχολήθηκε με την πλήρη αξιωματική θεμελίωση της αριθμητικής και στα 25 του δημοσίευσε ένα άρθρο που τίναζε στον αέρα όλη την προσπάθεια του Hilbert. Απέδειξε ότι κάθε φορμαλιστικό σύστημα που περιέχει θεωρητική αριθμητική δεν είναι πλήρες: έχει δηλαδή προτάσεις που είτε αυτές είτε η άρνησή τους δεν μπορούν ν’ αποδειχθούν με τους κανόνες του συστήματος. Τα αξιώματα της αριθμητικής δεν φθάνουν για ν’ αποδειχθούν όλες οι προτάσεις της αριθμητικής. Αν τώρα ο αριθμός των αξιωμάτων αυξηθεί πάλι θα υπάρχουν αληθινές προτάσεις για τις οποίες δεν μπορούμε ν’ αποφασίσουμε. Θα μπορούσαμε την αναπόδεικτη πρόταση ή την άρνησή της να την κάνουμε αξίωμα. Αλλά ακόμη και τότε η νέα αριθμητική θα είναι μη πλήρης.
Κατά μία θεώρηση, ο Gödel δεν έδειξε ότι υπάρχουν όρια στα μαθηματικά αλλά το αντίθετο, τα μαθηματικά δεν έχουν περιορισμούς και πάντα θα υπάρχει κάτι νέο να ανακαλυφθεί.
Το άλλο μεγάλο ζήτημα που έθεσε ο Gödel είχε να κάνει με τη συνέπεια ενός φορμαλιστικού συστήματος. Μπορεί κανείς να αποδείξει ότι ένα σύστημα αξιωμάτων, όπως αυτό της μη ευκλείδειας γεωμετρίας του Riemann δεν θα οδηγήσει σε θεωρήματα που το ένα θα αναιρεί το άλλο; Η συνέπεια της γεωμετρίας του Riemann, παρεμπιπτόντως, ανάγεται στη συνέπεια της ευκλείδειας γεωμετρίας που με τη σειρά της ανάγεται στη συνέπεια της άλγεβρας και της αριθμητικής. Ο Gödel απέδειξε ότι είναι αδύνατο να αποδείξει κανείς τη συνέπεια ενός φορμαλιστικού συστήματος που εμπεριέχει όλη την αριθμητική. Ήταν φίλος του Einstein. Βαθύς γνώστης των ορίων της μαθηματικής σκέψης είχε εκφράσει αμφιβολίες για το μεγαλειώδες σχέδιο του Einstein να βρει την ενοποιημένη θεωρία των πεδίων. Ο Gödel πέθανε στο Princeton το 1978 από ασιτία που του προκάλεσε η κατάθλιψη και παράνοια στην οποία είχε πέσει.
Τα θεωρήματα για την αδυναμία των μαθηματικών να διεισδύσουν σε κάποιες περιοχές της λογικής δεν τέλειωσαν με τον Gödel. Το 1936 ο Alan Turing, ο πρώτος που διατύπωσε θεωρητικά την ύπαρξη του υπολογιστή, μελέτησε σε εκπληκτικό βάθος τις δυνατότητες ενός υπολογιστή που θα γινόταν πραγματικότητα πάνω από μια δεκαετία αργότερα.
Ο Turing εξέτασε την ύπαρξη αλγορίθμων (διαδοχικών λογικών βημάτων που επιλύουν ένα πρόβλημα) που θα καθορίζουν αν ένα πρόγραμμα υπολογιστή θα τρέχει για πάντα ή θα σταματήσει. Απέδειξε ότι τέτοιος αλγόριθμος δεν υπάρχει. Επί πλέον απέδειξε ότι σχεδόν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί δεν εκφράζονται με μαθηματικό τύπο και άρα δεν μπορούν να υπολογισθούν με κάποιο πρόγραμμα υπολογιστή (μηχανή Turing, όπως λέγεται).
Το 1948 ο Claude Shannon δημοσίευσε μια επαναστατική θεωρία που έβαζε τάξη στα μεγάλα προβλήματα των επικοινωνιών και της κωδικοποίησης των μηνυμάτων. Ήταν η θεωρία πληροφοριών. Απέδειξε ο Shannon ότι, έστω και αν χρησιμοποιούμε αναξιόπιστους διαύλους (μεταδίδουν λάθος μηνύματα), μπορούμε πάντα να λαμβάνουμε μηνύματα με αξιοπιστία που πλησιάζει το 100% εφ’ όσον ο ρυθμός πληροφορίας είναι μικρότερος μιας ποσότητας που λέγεται χωρητικότητα του διαύλου.
Η ίδια θεωρία χρησιμοποιήθηκε για να ερμηνεύσει τα αποτελέσματα του Gödel. Με βάση τη θεωρία λοιπόν, όλη η πληροφορία ενός μαθηματικού συστήματος εμπεριέχεται στα αξιώματά του. Τα θεωρήματα που συνάγονται δεν μπορούν να περιέχουν κάτι νέο ή μεγαλύτερο πληροφοριακά, μονάχα δίνουν στα αξιώματα νέα μορφή, χρήσιμη για κάποια εφαρμογή. Η πληροφορία ενός φορμαλιστικού συστήματος ή ενός προγράμματος υπολογιστή είναι μεγαλύτερη ή ίση εκείνης κάθε αποτελέσματος του συστήματος ή του προγράμματος. Οι πράξεις των μαθηματικών ή των προγραμμάτων δεν παράγουν κάτι νέο. Επομένως τα θεωρήματα που εμπεριέχουν πληροφορία πέραν των αξιωμάτων θα παραμένουν αναπόδεικτα, εκτός αν αυξήσουμε τον αριθμό τους και άρα την πληροφορία του όλου συστήματος.
Εδώ όμως υπεισέρχεται ο άνθρωπος ο οποίος ορίζει τα αξιώματα, τα αιτήματα και τους ορισμούς. Η ικανότητα του μαθηματικού να κατασκευάζει φορμαλιστικά συστήματα είναι απεριόριστη και μ’ αυτή την έννοια τα μαθηματικά είναι απεριόριστα. Στην πραγματικότητα όλα τα θεωρήματα που αμφισβητούν τα θεμέλια των μαθηματικών έδειξαν το βάθος και την ομορφιά αυτής της επιστήμης. Είναι ένα διανοητικό εργαλείο με αξεπέραστη αυστηρότητα και λιτότητα που δεν έχει όρια ή κατεύθυνση. Ο ανθρώπινος νους μπορεί να περιπλανηθεί οσοδήποτε. Καθ’ οδόν η ομορφιά της διανόησης φτάνει σε αξεπέραστα ύψη και ταυτόχρονα ο κόσμος ερμηνεύεται με τρόπο εκπληκτικό. Ο Θεός πρέπει να έχει πολλή φαντασία για να φτιάξει ένα σύμπαν που ένα μικρό του μέρος ερμηνεύεται ωραία με αυτό το εργαλείο που οι άνθρωποι βρήκαν. Υπάρχει όμως κι ένα άλλο μέρος του σύμπαντος που δεν ερμηνεύεται με λογικά σύμβολα. Αυτό ας τ’ αφήσουμε στην ποίηση, την τέχνη, τη φαντασία.
Γιάννης Α. Φίλης